• يمكن تعريف الرياضيات بأنها المادة التي يصعب دوماً أن نعرف الشيء الذي
يدور الحديث حوله، ويصعب معرفة ما إذا كان ما نقوله صحيحاً أو غير صحيح. (برتراند
راسل)
• الرياضيات لعبة نلعبها وفق قواعد بسيطة مستخدمين لذلك رموزاً ومصطلحات
ليس لها - بحد ذاتها - أي أهمية. (جلبرت)
• الرياضيات هي علم اللانهايات. (ويل)
• حقاً أنا مستعد للتصريح بأنه يستحيل أن نتصور تعليماً للرياضيات بدون
نظرية المجموعات رغم أن الرياضياتيين مستعدون للإعتراف - كنفد ذاتي - بأنهم قليلاً
ما اهتموا بالمجموعات و.....
• إن الرياضياتيين يؤكدون أن نظرية المجموعات ظهرت إلى الوجود في
7/12/1873م أي منذ أكثر من مائة عام.
• إن نظرية المجموعات المبسطة (الساذجة) هي التي لا يوجد في أساسها أي
مسلمات، أي ندرسها دون أن نضع مسلمات نظرية المجموعات في أساسها.
• نلجأ فيها للرسوم (أي المجموعات) كوسيلة مساعدة لملاحظة المجموعة وفهمها
بسهولة وليس أكثر من ذلك..
• لا يمكن الحديث عن تساوي شكلين هندسيين عندما يوجد الشكلان في مجموعتين
مختلفتين .. يمكن فقط أن نتحدث عن تطابق الأشكال الهندسية أو عن تكافئها.
• الرياضياتيون يؤكدون على أن لغة الرموز أكثر دقة من لغتنا التي نتحدث
بها، وأن الكلمات الكثيرة غالباً ما تشوش المعنى الذي نريده.
• إن هذه المجموعة (الخالية) لها بعض الصفات المشوقة وإنطلاقاً من هذه
الصفات نستطيع أن نشكل عدداً من المجموعات الجديدة المختلفة.
• نقول عن مجموعتين إنهما متكافئتان بالقدرة فيما إذا أمكن إيجاد تقابل
فيما بينهما.
• إن محور الأعداد وجملة الإحداثيات هي جسر خاص يربط ما بين الأعداد
والنقاط، أي جسر خاص وهام يربط ما بين
الحساب والهندسة [..] إنها لا تلعب دوراً هاماً فحسب، بل يعد اكتشافها (أو
ابتكارها) بداية عهد جديد في الرياضيات.
• إن (الحاصل) الديكارتي للمجموعتين س ، ع هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة،
(أو الثنائيات) (ب، جـ) التي يكون فيها المسقط الأول ب عنصراً في الجموعة س ،
والمسقط الثاني جـ عنصراً في المجموعة ع.
• إن عناصر المجموعة يمكن أن تكون أشياء مختلفة: كلمات ، ذرات، أعداد، توابع،
نقاطاً، زوايا،... وغيرها. ولذلك فقد كان واضحاً منذ البداية التوسع الكبير الذي
تتميز فيه نظرية المجموعات وإمكانية استخدامها في مجالات كثيرة للمعرفة (في
الرياضيات والكيمياء والفيزياء و.... (نِقولا لوزين)
• نقول عن المجموعة س انها مرتبة فيما إذا أمكن معرفة تسلسل العناصر فيها:
أي أنه إذا أُعطينا عنصرين ب،جـ من هذه المجموعة تستطيع أن تحدد تماماً أي عنصر
يقع قبل الآخر.
• المجموعة المرتبة جيداً هي تلك المجموعة التي تكون كل مجموعة جزئية منها
غير فارغة ولها عنصر أصغر.
• إن الأعداد الطبيعية تستحق اهتماماً أكبر بكثير مما تعتقد حتى وإن كان
لها عمر طويل تحسد عليه.
• الأعداد الطبيعية بقدمها وبساطتها تذكرنا بأهرام مصر (والحق يقال اننا لا
نعرف إلا الشيء القليل عن هذه الأهرام رغم الكثير من الكشوف وحل الألغاز المتصلة
بها.
• لقد سمى افلاطون الرياضيات علم خواص الأعداد الفردية والزوجية.
• تكون الجموعة لانهائية إذا وفقط إذا كان بالإمكان إيجاد تقابل ثنائي
بينها وبين جزء حقيقي منها.
• كل جملة من المسلمات يجب أن يتحقق فيها الشرطان الأساسيان التاليان
أولهما: يجب أن تكون تامة وغير متناقضة في داخلها. وثانيهما: أن تكون جملة
المسلمات تامة في حالة احتوائها على كل ما هو ضروري لبناء رياضياتي نظري معين
تنتمي إليه.
• قواعد اللعب (الموضوعات) موجودة، أما كيفية استخدامها فهذا مرتبط
بمقدرتنا ومهارتنا في استعمالها.
• ليس من الضروري أن يصبح الطفل الذي يتقن العمليات الحسابية رياضياتياً
جيداً في المستقبل والعكس أيضاً صحيح.
• إن مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة مغلقة بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب،
بينما هي مجموعة غير مغلقة بالنسبة لعمليتي الطرح والقسمة.
• لا ينتمي الصفر إلى أي من المجموعتين (الموجبة أو السالبة). بل هو يقع
على الحدود ويشغل هناك مكاناً مرموقاً. فالصفر إذن هو شخصية أو عنصر متميز،
وبعبارة أخرى فالصفر هو صفر.!
• المنطق الرياضياتي هو علم التفكير، أو العلم الذي يبحث بتدريس أشكال
التفكير النطقي والعلاقة بينهما، والعمليات التي تساعد على تحقيقها. أما أشكال
التفكير المنطقي فهي المفاهيم والقضايا.
• العمليات على القضايا ليست تماماً نفس العمليات على الأعداد، ولكن يوجد
بعض التشابه بينهما.
• وظيفة الجبر الحديث تتلخص في كشف البنى المتماثلة للمجموعات ذات العناصر
المختلفة.
• الرسوم قد تكون مفيدة أحياناً وموضحه، ولكنها تقود - في أحيان أخرى - إلى
طريق خاطيء.
• لو لم تكن نظرية المجموعات معروفة لكان من الضروري أن نبتكرها..
• المجموعات تكون قابلة للعد فقط إذا كان هناك تقابل بينها وبين مجموعة
الأعداد الطبيعية.
• في الحالة العامة تكون المجموعات غير القابلة للعد ذات عناصر أكثر من
المجموعات القابلة للعد.
• في هندسية ريمان نجد أنه من نقطة خارج مستقيم لا يمكن رسم أي ماوزٍ لهذا
المستقيم. أما في هندسة لوباتشفسكي فنجد أنه من نقطة خارجة مستقيم يمكن رسم
مستقيمين موازيين لهذا المستقيم.
• في هندسة لوباتشفسكي: مجموع قياس زوايا المثلث الداخلية أصغر من قائمتين.
وفي هندسة ريمان: مجموع قياس زوايا المثلث الداخلية أكبر من قائمتين. أما في هندسة
إقليدس: فمجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي قائمتين.
=================================================
▬ أنا أكتب الكتاب لك، وقد قصدت ذلك بكل جدية. فالكتاب مكتوب بحق لك ومهدى
إليك. والسبب الرئيس لكتابة هذا الكتاب وهذا الإهداء هو انك مضطر لدراسة الرياضيات
رغم أنك لا تحبها، فليس هناك أي صف في المدرسة - وحتى معظم فروع الجامعة - يمكنك
أن تمر به دون استخدام الرياضيات. إذن عليك أن تتعامل مع الرياضيات - إذا رغبت -
تماماً كما تتعامل مع شر لابد منه، والذي لا يمكن التخلص منه في وقتنا الحاضر في
المدرسة الخاصة. وكل شر لابد منه يجب أن ندرسه. وهذا مبدأ رائع يجب أن يكون رائدنا
حتى في الحرب. فنحن نكره العدو ونحاربه كما يتعين علينا في الوقت نفسه أن ندرسه
بأفضل شكل ممكن لكي نتمكن من الإنتصار عليه. صــ15
▬ بالتأكيد لا يمكن أن ندرس الرياضيات بدونها (أي نظرية المجموعات)،
وبإمكان الرياضياتيين إعطاء مختلف التعليلات لهذه الموضوعة، فهم يؤكدون - مثلاً -
أنه بفضل المجموعات أصبحت لغة الرياضيات أكثر بساطة ونقاء ووضوحاً، وأصبحت
الصياغات الرياضياتية أكثر دقة. وبإستخدام المجموعات يمكن - بنظرة واحدة - أن نلم بأصعب
بناء رياضياتي. ولقد برهن العلماء على أن المجموعات موجودة في أساس الرياضيات
المعاصرة، وأن المجموعات يمكن استخدامها في كل مكان، وأنها مفيدة لدرجة أنه يمكن
أن ندرس بها مختلف اللانهائيات، وأن...صــ22
▬ إن الرياضياتيين يسعون دائماً لإستخدام أقل عدد ممكن من الرموز لإعطاء
أكبر قدر من المعلومات - وعندما تتحول أبسط الأشياء إلى لغة الرموز والمصطلحات
نتصور دوماً أنها قد أصبحت أشياء غير مفهومة. وإذا سألت الرياضياتي بدهشة عما
تعنيه هذه الرموز والمصطلحات ولماذا يستخدمها في كتابته. فلن يجيبك الرياضياتي
بأكثر من ابتسامة غامضة...فما رأيك بهذه الإجابة؟ إنهم يستمتعون بلغة الرموز
هذه...أما نحن فعلينا أن نناقش طويلاً "وبملل" هذه الرموز حتى نستطيع أن
نقرأ ونفهم كل ما يكتبون. صــ28
▬ والآن نستطيع أن نسأل - ذلك الرياضياتي - السؤال التالي: هل يوجد مجموعة
جميع المجموعات؟ ومهما يكن جوابه - التأكيد أو النفي - تظاهر أمام هذا
"العالِم" بإحترامك الشديد له لإتساع معارفه في نظرية المجموعات، ذلك
أنني أشك في فهمه لجوهر السؤال. فهذا السؤال قد طرحه الفيلسوف والرياضياتي
الإنجليزي برتراند راسل (1872 - 1970) ولا يوجد له حتى الآن جواب محدد ووحيد حتى
عند الرياضياتيين أنفسهم. صــ29
▬ هناك جملة من المشاكل تبرز أثناء تمثيل المجموعات بالرسوم، ولذلك فإن
الرياضياتيين يتهربون منها. وإليك أمثلة من هذه المشاكل: • غالباً ما نمثل عناصر
المجموعة أثناء الرسم بنقاط متماثلة، وبدوائر صغيرة متماثلة أو بمثلثات، ولكننا
نعلم أنه لا يوجد في المجموعة عناصر متماثلة!! أي أن جميع عناصر المجموعة تكون
مختلفة ومتمايزة. • هناك بعض المجموعات - مثل مجموعة النقاط في المستوى - لا يمكن
أن نحيطها بخط مغلق. • إضافة لذلك عليك ان تكون حذراً - وبصورة خاصة - عندما تريد
أن تشير إلى مجموعة واقعة داخل مجموعة والتي نسميها مجموعة جزئية، ذلك أن هذه
المجموعة الجزئية يمكن أن تفهم وكأنها عنصر من المجموعة الأصلية. فإذا صادفنا مثل
هذه الحالة - مجموعة داخل مجموعة فإن بعضهم سوف يؤكد على أن هذا عنصر من المجموعة
وليس مجموعة جزئية والآخرون يؤكدون على أنها مجموعة جزئية. • ويمكن أن تجد أيضاً
من يريد أن يشير إلى المجموعة الخالية فيأخذ قطعة ورقة نظيفة على أنها تمثل
المجموعة الخالية... صــ33
▬ [..] إذن إذا وجد تقابل بين مجموعتين، فإن لهاتين المجموعتين نفس العدد
من العناصر. وهذه الخاصة الصحيحة بالنسبة للمجموعات ذات العناصر المنتهية. قد
وسعها كانتور لتشمل المجموعات ذات العناصر غير المنتهية. ومن الجدير بالذكر أن
الرياضياتيين يولون أهمية بالغة لهذا التوسيع إلى المجموعات غير المنتهية. ومن
يرفض هذا التوسيع فإنهم ينظرون إليه نظرة.... (لا أحب أن أصفها) صــ66
▬ يمكن التأكد على أن الرياضيات والفلسفة في كل الأزمنة قد استخدمت وبشكل
واعٍ محاكمات نظرية المجموعات بشكل أو بآخر. غير أنه - وعبر تاريخ تطور نظرتهم إلى
هذه المادة (نظرية المجموعات) لابد من التمييز بدقة بين الأسئلة المرتبطة بمفاهيم
الأعداد الرئيسة (والمرتبطة بصورة خاصة بمفاهيم اللانهاية) وبين الاسئلة المرتبطة
فقط بمفاهيم الإنتماء والإحتواء. فمفاهيم الإنتماء والإحتواء قابلة للفهم بالبداهة
والحدس، ولذلك فهي تبدو أنها لم تمر أبداً بطور من المناقشة والجدل حولها. وحتى
نهاية القرن التاسع عشر لم يتعمق أحد في تعريف المجموعة. وعندما نشر كانتور تعريفه
الشهير للمجموعة لم يلاقِ هذا التعريف أي معارضة. ولكن ما إن انضمت مفاهيم الأعداد
والمقادير لمفاهيم المجموعات حتى تغير الوضع جذرياً، فمسألة التقسيم اللانهائي
للفراغ قد أدت - كما هو معروف - إلى تعقيدات ملحوظة في الفلسفة. ثم إنه لم يكن
بإستطاعة الرياضيات والفلسفة إزالة ذلك التناقض الظاهري حول المقادير المنتهية
والمؤلفة من عدد لا نهائي من النقط ذات المقادير المعدومة. (من كتاب نيكولا بور
باكن "نبذة من تاريخ الرياضيات" موسكو 1963 ، ص37-38") صــ92:93
▬ عندما زار طاليس مصر أُعجبَ به الكهنة المصريون، وأُعجبوا بطريقته
المبتكرة في حل المسائل التي عرضوها عليه. ولكي يختبروا حكمة هذا الضيف اليوناني
قرروا أن يطرحوا عليه مسألة رياضياتية حقيقية فأخذوه إلى أكبر الأهرام في الصحراء
وطلبوا منه قياس ارتفاعه. كان الكهنة متأكدين من أن هذا العاِلم الغريب لن يتمكن
من حل المشكلة. ولكن الرياضياتي اليوناني لم يرتبك. بعد تفكير قصير طلب منهم أن
يحضروا له عصا. أحضر الكهنة العصا للضيف اليوناني معتقدين أنه سوف يتسلق الهرم
ويبدأ بقياس ارتفاعه بشكل عملي مستخدماً لذلك العصا التي طلبها. ولكن طاليس لم
يخطر بباله مثل هذا العمل ابداً، فقد أخذ العصا وغرزها بالرمل ثم قال للكهنة:
عندما يصبح طول ظل العصا مساوياً لطولها، قيسوا طول ظل الهرم وسوف تحصلون على طول
ارتفاعه! دهش الحكماء المصريون من بساطة وذكاء هذه الطريقة التي اتبعها طاليس في
حل مسألة صعبة ومعقدة مثل مسألة قياس ارتفاع الهرم مما اضطر الكهنة المصريين
للإعتراف بأن اليونانيين رياضياتيون ممتازون. وفي واقع الأمر فإن رياضياتي
اليوناني قد أغنوا رياضيات ذلك العصر بمعارفهم الكثيرة. صــ103
▬ إن بإعطائنا هذا المفهوم - اللانهاية - الأهمية الكافية نتـأكد من أنه
يجب عدم الإعتماد دوماً على "تفكيرنا السليم" فقط "ذلك التفكير
الذي نفتخر به ولم نشك في وجوده" ويجب، كذلك، عدم الإقتصار على البراهين
المبنية على الملاحظة فقط والمؤسسة وفق المبدأ التالي "أصدق فقط ما
أراه". صـ109
▬ يمكن أن نصل إلى النتيجة التالية : كل المجموعات اللانهائية لها نفس
العدد من العناصر، والجزء منها يساوي الكل (الجزء اللانهائي). لا يمكن أن نفعل أي
شيء، ولا يوجد أحد يستطيع أن يتهمنا أننا لم نحاول انقاذ "تفكيرنا
السليم". وبما أن الأمر كذلك في الجموعات اللانهائية فلنحاول هنا الترفيه عن
أنفسنا على حساب هذه الخاصة الغريبة (وغير العادية) للانهايات. صــ115 //الصحيح هنا القول بأن "الجزء يكافيء الكل" لا يساويه
إذ ان للمجموعات المتساوية معنى محدداً، ولكننا غضضنا الطرف هنا عن القول بأن
"الجزء يساوي الكل" وذلك لأن هذا التعبير كان مستخدماً في الماضي قبل
كانتور الذي أعطى معنى محدداً للتساوي والتكفاء. [المحرر] ، يمكنك مطالعة
(فندق هِلبرت وعالم اللانهايات) , (هل اللانهاية في الرياضيات مفارقة ؟)//
▬ قال جلبرت:"الرياضيات ليست إلا لعبة يلعبونها وفق قواعد بسيطة
مستخدمين في ذلك رموزاً ومصطلحات ليس لها أهمية بحد ذاتها". (مثلاً الحرف ز
هو أحد أحرف اللغة وليس له أهمية بحد ذاته أكثر من كونه حرفاً، ولكننا إذا رمزنا
بــ (ز) للزمن فإنه يصبح أحد رموز اللعبة الرياضياتية أو الفيزيائية) [...]
المسلمات في الرياضيات الحديثة أبعد ما تكون عن الوضوح والبداهة. حتى أن بعضهم يؤكد
أن المسلمات ليست صحيحة دوماً [..] لنعتبر إذن المسلمات موضوعات أو مصادرات. ومن
يستخدم هذه الموضوعات لا يُطلب منه تقديم تقرير حول السبب الذي دعاه لإختيار هذه
الموضوعة بالذات لأن هذا شأنه وحده، وهو حر في اختيار الموضوعة التي يريدها، أو
جملة الموضوعات التي يريدها ويبني على أساسها نظريته. ولكن إذا تبين أنه يوجد في
جملة المسلمات التي يستخدمها الرياضياتي شيء ما (غير عادي) أو تناقض، فإن
الرياضياتيين سوف يدعون السِّياق ويصدرون قراراً بإعدام هذه الجملة. صــ120 : 121
▬ إن إحدى الألعاب المحببة إليهم (الرياضياتيون) هي ما يل: تؤخذ جملة
مسلمات ثم تُبنى على أساسها مختلف النظريات وعلاقة الترابط المساعدة (ليما Lemma) والتعاريف.... ثم ينظر ماذا يمكن استنتاجه من كل هذا البناء.
ويعد أفضل اللاعبين ذلك اللاعب الذي يتمكن من بناء نظرية صعبة وتشمل أوسع مجال من
مجالات المعرفة. وكلما كانت النتائج التي يتوصل إليها أكثر، والمسلمات التي
يستخدمها أقل كلما كان لاعباً أفضل. صــ125
▬ إن القوانين الرياضياتية لا يمكن مقارنتها في أي شيء مع قوانين المحاكم
والقضاء العام (إلا بالإسم فقط). فالمحامي يحاول دائماً ايجاد مخرج من قوانين
الحاكم (قوانين الحقوقيين). أما القوانين الرياضياتية فهي صارمة جداً ولا تتغير
بإستمرار بالمقارنة مع قوانين أخرى، وهي باقية في قوتها وتأثيرها. مئات بل آلاف
السنين وتطبيقاتها واحدة في جميع أنحاء العالم وهذا يُعني أنه إذا أردنا أن ندرس
الرياضيات يجب علينا أن نحترم هذه القوانين دون النظر إلى المكان الذي نعيش فيه:
سورية أو اليابان أو أميركا أو الهند.... صــ140
0 التعليقات:
إرسال تعليق